Table des matières
1 Réduction des endomorphismes 5
I Représentation matricielle d'un vecteur et d'une application linéaire . . . . 5
II Déterminant et trace d'un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III Espaces et valeurs propres d'un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV Cayley Hamilton et polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
V La diagonalisation et le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
VI Diagonalisation simultanée * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
VII Triangularisation et nilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VIII Espaces caractéristiques et décomposition de Dunford* . . . . . . . . . . . 33
IX Exponentielle d'un endomorphisme* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Espaces euclidiens 47
I Particularités des espaces réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II Produit scalaire, polarisation, parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III Inégalités de Schwarz et du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV Pythagore, Schmidt, Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
V Dual et adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
VI Le groupe orthogonal, les matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 66
VII Le groupe orthogonal du plan ; dimensions supérieures. . . . . . . . . . . . 72
VIII Produit vectoriel en dimension 3 et quaternions . . . . . . . . . . . . . . . 76
IX Endomorphismes symétriques, positifs et dé nis positifs . . . . . . . . . . . 83
X Racine carrée, décomposition polaire et valeurs singulières . . . . . . . . . . 98
XI Cholesky et les arbres à racines.* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3 Espaces hermitiens. 107
I Produit hermitien, Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
II Orthogonalité, dualité et adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 TABLE DES MATIÈRES
4 Formes quadratiques 129
I Matrices représentatives d'une forme bilinéaire ou quadratique . . . . . . . 129
II Orthogonalité, noyau, rang, diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
III La signature d'une forme quadratique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
IV Formes quadratiques unitaires et racines * . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
V Graphes et formes quadratiques de Dynkin * . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Géométrie euclidienne a ne 145
I Espaces et variétés a nes, barycentre et parallélisme. . . . . . . . . . . . . 145
II Espace a ne euclidien. Distance entre deux sous espaces . . . . . . . . . . 148
III Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
IV Polyèdres réguliers et sous groupes nis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . 148
V Coniques et quadriques de l'espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VI Homographie et inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148