Théorie des Ensembles et Relations

Table des matières

     1 Théorie des ensembles 6

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Représentation d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Relations entre ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 L’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 L’égalit´e d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 La réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.2 L’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.3 La différence d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.4 Cas particulier : la complémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Propriétés des opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Commutativité de la réunion et l’intersection . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.2 Associativitéde la réunion et l’intersection . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.3 Idempotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.4 Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.5 Dualité(Formules de De Morgan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.6 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Fonctions Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.1 Propri´et´es des Fonctions Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . 17



2 Relations binaires 19

2.1 Définitions, Exemples et Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 Représentation des Relations Binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.1 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3.2 Représentation par un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Compositions de relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Transposée d’une Relation Binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Relations binaires sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Relations d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Relations d’Ordre Partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2 Diagramme de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.3 El´ements Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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